Espaço Científico Cultural

Introdução à físico-química das soluções
4a. parte

Alberto Mesquita Filho

Índice deste artigo

B-3 INTERVALO MATEMÁTICO. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

A temperatura em grau Celsius é função da temperatura absoluta:

t   =   f(T)   =  T   -   273.15

e a função inversa será:

T   =   f-1(t)   =   t   +   273.15.

Numa transformação tipo Charles temos:

V   =   g(T)   =   CT.

Logo:

V   =   g[f-1(t)]   =   C( t   +   273.15).

Vamos então estudar graficamente um caso particular dessa expressão, aquele em que C = 0.6. A expressão será então:

V   =   0.6t   +   164

(1-16)

A equação (1-17) e a figura (1-5) nos mostram o significado de a e b:

1. b é o valor de V quando t é igual a zero;

2. a é igual à relação (V-b)/t e verificamos que para qualquer ponto P do gráfico é possível construir um triângulo retângulo tal que (V_i-b)/t_i, em que i = 1, 2, 3, ..., seja a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo a formado entre a reta representativa da função e uma paralela ao eixo de t (vide figura 5).

Portanto:

e a é chamado coeficiente angular ou inclinação da reta V = at + b.

A função de Charles V = CT é um caso particular de função linear do tipo V = aT + b, em que b = 0 e a = C. A figura 6 mostra o gráfico de várias destas funções, que diferem entre si pelo valor de C, ou seja, pelo coeficiente angular. Como b = 0, quando T = 0 teremos V = 0 e, portanto, todas as retas passam pela origem.

Como a transformação de Charles é a pressão constante, é costume chamar tais retas de isóbaras, correspondendo cada uma delas a um valor de P.

 

B-4 EQUAÇÃO GERAL DE ESTADO

As leis gerais dos gases nos fornecem três equações de estado úteis para o estudo de transformações de estado particulares. Interessa-nos obter relações entre propriedades de estado para uma transformação qualquer. A situação mais geral é a transformação de um sistema constituído por um gás nas condições p₁, V₁, T₁, m₁ e M₁ em outro também constituído por um gás, porém nas condições p₂, V₂, T₂, m₂ e M₂. A maneira como a transformação ocorreu não nos interessa. Interessa apenas estabelecer relações entre as propriedades no estado inicial (1) e no estado final (2). Para tanto podemos utilizar um artifício supondo que a transformação global tenha ocorrido em três etapas a respeitarem, em cada uma delas, uma das três leis gerais que estudamos no item B-2. A figura 7, apresentada a seguir, fornece esse raciocínio de maneira esquemática.

 

		. p1               V1 T1 m1               M1 .			?		. p2               V2 T2 m2               M2 .
	. Lei de Boyle . isotérmica isomássica isoquímica . p1V1 = p2V' .					..		. Lei de Avogadro . isobárica isotérmica . .
		. p2               V' T1 m1               M1 .			Lei de Charles isobárica isomássica isoquímica		. p2               V'' T2 m1               M1 .
Figura 7: À procura da equação geral de estado. .

 

Substituindo o valor de V' dado pela lei de Boyle como apresentado na figura 7, na expressão da lei de Charles, e substituindo-se o V'' assim obtido na expressão da lei de Avogadro, chegamos a uma relação entre todas as variáveis de estado consideradas para os estados 1 e 2:

Esta é a equação de estado procurada. Lembrando que n = m/M, e generalizando a expressão para um estado qualquer, temos:

ou, como é mais conhecida:

em que R é a chamada constante dos gases.
.

 

As três leis gerais dos gases estão implícitas na equação (1-19) e os significados matemáticos das constantes B, C e A estão representados acima na tabela 4. B, C e A são constantes apenas para transformações específicas e seu valor depende do estado inicial. Já havíamos admitido esta dependência para C no item B-3, ao discutir a figura 6. Vemos agora, pela tabela 4, que C é uma função de três variáveis: C = f(m, p, M). A e B são também funções de estado dadas por: A = g(T, p) e B = F(m, T, M).

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