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3. Plataformas Girantes
A solução estacionária da equação de Navier-Stokes
simplificada, e para uma plataforma girante de dimensões infinitas (giro em torno de um
eixo na origem), conforme demonstrado no apêndice C, é dada
pela seguinte expressão:
v(r) =
 = w ´ r |
(5) |
Nestas condições temos um campo de
vorticidades constante, pois
Ñ ´ v = w = constante |
(6) |
Chama a atenção a semelhança
geométrica e analítica entre o campo de vorticidades de uma plataforma infinita e o
campo elétrico de uma superfície plana infinita e carregada uniformemente. É de se
notar que em nenhum momento, na obtenção de (5), pesou significativamente o fato de o
raio da plataforma tender a infinito. Resultado análogo seria obtido restringindo-se o
domínio da função v(r) a 0 £ r £
R. A solução, com este domínio, é:
v(r) = w
´ r = (Ñ´v)´r, [0 £
r £ R] |
(7) |
A solução (7) é uma solução
estacionária e, portanto, obtida num tempo infinito. Nestas condições, e fora do
domínio considerado, o campo de um disco de raio R seria idêntico ao produzido por um
cilindro infinito de raio R e mesma velocidade angular. Em outras palavras, vê-se por (7)
que o fluido gira em 0 £ r £ R
como um corpo rígido de diâmetro 2R, ou seja, neste domínio o fluido comporta-se tal e
qual um cilindro sólido.
Fisicamente podemos pensar no disco
como que transferindo energia e momento angular ao fluido contido no domínio considerado;
e este fluido em rotação, por sua vez, como que transferindo energia e momento linear ao
fluido fora do mesmo. Esta solução é a única, para a condição idealizada [6], que compatibiliza as leis de conservação de energia, momento linear e
momento angular. Estas leis, de uma forma até certo ponto fantástica, estão contidas na
expressão matemática da equação de Navier-Stokes. A solução concorda também com os
teoremas de Helmholtz que traduzem a lei de conservação de momento linear aplicada a
um fluido (Feynman et al, op. cit) e que nos afirmam que, tal e qual as linhas de um
campo elétrico, as linhas de campo de vorticidades jamais começam ou terminam num
espaço sem agentes causais.
Referências:
[6] Por condição idealizada queremos nos referir a fluido
newtoniano incompressível, e estabilizado em termos de velocidade após um tempo
infinito. Voltar
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