Fis-Mat

A Equação de Bessel

2. Solução da Equação (1) em série de potências

//////Seja uma possível solução de (1). Ao admitirmos esta possibilidade, na realidade o que estamos fazendo é assumir y, dado pela equação acima, como solução de (1), e propondo-nos a determinar os coeficientes a_n, bem como . Nestas condições temos

e

//////Substituindo estes valores de y, y’ e y" em (1) obtemos:

ou

ou, ainda,

//////A equação (3) pode ser desmembrada em três igualdades:

//////As igualdades (4) e (6) são chamadas, respectivamente, equação indicial e equação de recorrência.

//////Da equação indicial, e assumindo a_o 0, vem

=

o que implica, de (5), em:

a₁ = 0.

A equação de recorrência (6) pode ser escrita na forma:

e como a₁ = 0, segue-se que todos os coeficientes a_n com índice ímpar são nulos: a₃ = a₅ = a₇ = ... = 0. Por outro lado, os coeficientes a_n com índice par são dados por:

Generalizando, temos:

(n par)

 

//////Efetuando a mudança de variável n m tal que n = 2m, os coeficientes a_n podem ser expressos por:

ou

ou, finalmente:

 

/
/
//////Lembrando que , n = 2m e = , temos:

/
//////Substituindo (7) em (8) as soluções y₁(x) e y₂(x) ficam:
/

//////As expressões (9) podem ainda ser escritas, em termos de funções gama () [4], da seguinte maneira:

//////Determinadas duas soluções y₁ e y₂ para a equação (1), podemos, uma vez comprovada a existência destas soluções, bem como sua independência linear, escrever a solução geral como

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x).

(11)

No item a seguir veremos que (11), com y₁ e y₂ dados por (10), não é solução geral válida para = 0, 1, 2, ...

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