//////As fórmulas
de recorrência das funções de Bessel são relações entre funções de Bessel de
ordens diferentes. São extremamente úteis, possibilitando, por exemplo, que se expresse
uma dada função J
em termos de funções de Bessel de ordem mais baixa [8]; prestam-se também à redução de certas integrais que ocorrem na
normalização das funções de Bessel [9].
//////A título de clareza, e com a
finalidade de destacá-las, iremos numerá-las em algarismos romanos, conservando a
numeração seqüencial em algarismos arábicos para as demais equações. Nas
demonstrações referentes às equações (I) e (II)
serão feitas algumas restrições com respeito a 
. Apesar destas restrições, demonstra-se que (I)
e (II) são válidas 
. Chegaremos a essa generalização por outro método 
a partir da função
geratriz a ser visto no
próximo item.
I) Se 
:
Portanto:
|
(I) |
II) Se - Z+:
Portanto:
|
(II) |
III) Desenvolvendo o primeiro membro de (I),
temos:
x
J'(x) + x-1J(x) = xJ-1(x).
Podemos dividir todos os termos por x -1, tendo em
vista que, de (1), x 
0.
Portanto:
|
(III) |
IV) De maneira análoga, desenvolvendo o primeiro membro
de (II) e a seguir dividindo todos os termos da equação resultante por x--1:
x- J'(x) + x--1J(x)
= - x- J+1(x)
|
(IV) |
V) Somando membro a membro (III) e (IV):
|
(V) |
VI) Subtraindo membro a membro (IV) de (III):
|
(VI) |
