//////Geratriz significa aquela que gera.
Nesse contexto, mostraremos a seguir que
é função geratriz da função de Bessel de primeira espécie Jn(x) para n 
Z .
//////Desenvolvendo g(x,t)
obtemos:
//////Seja então n tal
que n = r - k. Nestas condições, r = k + n
e n varia de - 
a + . Então:
Portanto:
|
(16) |
//////Verificada a igualdade (16)
podemos agora, a partir da mesma, demonstrar a validade das relações de recorrência (I)
a (VI) para 
= n Z . E, com efeito,
derivando (16) em relação a t e desenvolvendo a
expressão resultante, temos:
Igualando os expoentes de t a n-1:
Portanto:
|
(VIa) |
A expressão (VIa) corresponde à (VI)
para Z .
//////Derivando (16) em
relação a x:
Igualando os expoentes de t a n:
Portanto:
|
(Va) |
A expressão (Va) corresponde à (V)
para Z .
//////As demais relações de recorrência
derivam de (Va) e (VIa) da seguinte forma:
(Va) + (VIa) 
(IIIa)
;
(VIa) - (Va) (IVa)
;
(IIIa) 
xn-1 xnJn-1(x) = nxn-1Jn(x) + xnJn’(x)
|
(Ia) |
(IVa) x-n-1
-x-nJn+1(x) = -nx-n-1Jn(x) + x-nJn’(x)
|
(IIa) |
