Ortogonalidade das funções de Bessel

Fis-Mat

A Equação de Bessel

7. Ortogonalidade das Funções de Bessel

Sejam e dois autovalores da equação

x^²y" + xy’ + (^²x^² - ^²)y = 0
(17)

Nestas condições, e conforme visto no item 4,

y₁ = J (x) e y₂ = J (x)
(18)

são soluções da equação (17) para os correspondentes autovalores ( = e = , respectivamente). Podemos então escrever:

x^²y₁" + xy₁' + (^²x^² - ^²)y₁ = 0
(19)

x^²y₂" + xy₂' + (^²x^² - ^²)y₂ = 0
(20)

Multiplicando (19) por y₂ e (20) por y₁ e subtraindo membro a membro as equações (20) da (19), assim modificadas, temos:

x^²(y₂y₁"-y₁y₂") + x(y₂y₁'-y₁y₂') = (^² - ^²)x^²y₁y₂

Dividindo por x e manipulando os termos, podemos escrever:

ou

(21)

Integrando (21) no intervalo [a,b]:

.

Dividindo por (^² - ^²) e utilizando as igualdades (18):

Para a=0 e b=R, temos:

(22)

e para a expressão fica:

Aplicando L’Hospital e a seguir multiplicando o numerador e o denominador do segundo membro da expressão por :

(23)

Mas J(R) é solução da equação de Bessel

^²R^²y"(R) + Ry’(R) + (^²R^² - ^²)y(R) = 0,

ou seja

^²R^²J"(R) + RJ’(R) = - (^²R^² - ^²)J(R).
(24)

Substituindo (24) em (23):

ou

(25)

Se , e R forem tais que as raízes n-ésima e m-ésima da função de Bessel de ordem igualem, respectivamente a = R e = R, as expressões (22) e (25) podem ser agrupadas numa única expressão:

*
(26)

conhecida como relação de ortogonalidade das funções de Bessel. De (26) observa-se que as funções e são ortogonais no intervalo [0,R]; ou então, as funções e são ortogonais em relação à função peso x.

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