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Estudo do Movimento segundo a
Metodologia Net-In
Alberto Mesquita Filho
Capítulo 1 - Página 2

1.7 Uma breve introdução à teoria dos erros

Algumas questões relacionadas à medida efetuada no item anterior (1.6) serão aqui discutidas:

    1. Até que ponto podemos confiar no valor encontrado?
    2. O valor que você encontrou deveria ou não estar próximo daquele que eu encontrei (no caso, 4s)?
    3. Qualquer que seja a resposta a esta segunda pergunta, surge uma terceira: Porque?

Vamos por partes. Com respeito à questão (1), eu já manifestei algo que poderia ser interpretado como uma certa desconfiança, de minha parte, no método utilizado. Mas dizer que o método é grosseiro, ou então que não é dos melhores, não é o mesmo que dizer que a medida efetuada não é confiável. Deveremos verificar se o valor encontrado é ou não é confiável dentro dos limites impostos. Por exemplo, eu jamais esperaria encontrar, utilizando este método, um valor para Dt igual 4,54s (com duas casas decimais depois da vírgula); e nem mesmo Dt = 4,3s (com uma casa decimal depois da vírgula); e por vários motivos, dentre os quais: 1) o relógio utilizado não trabalha com frações de segundo; 2) tivemos que "desviar o olhar da bolinha para o relógio", o que certamente se dá num intervalo de tempo diferente de zero. Estes são alguns, dentre outros fatores à primeira vista menos relevantes, a caracterizar o que chamei "estimativa grosseira" propiciada pelo método. Mas se a esperança não é das melhores, a verdade é que o método nos fornece um resultado numérico, e é trabalhando com este número que a pergunta deve ser respondida. Até que ponto podemos confiar neste valor?

Efetuando a experiência no meu computador, eu encontrei um valor para Dt igual a 4s. É possível que no seu computador, você tenha encontrado um resultado diferente. Esta possível diferença será discutida quando formos analisar a questão (2). Para que esta possível diferença possa ser deixada de lado, imagine que foi você, e não eu, quem realizou a experiência no meu computador e encontrou o valor Dt = 4s. Até que ponto esta medida poderia ser interpretada como algo a representar um valor real ou verdadeiro do intervalo de tempo gasto para que a bolinha percorresse aquela distância fixada na tela do meu computador? Que limites de erro você iria impor para o valor encontrado, em relação a este hipotético valor verdadeiro? Seria cabível você assumir que o valor verdadeiro pudesse ser algo igual ou maior do que 7s? Ou então igual ou inferior a 1s? Se você disser que não, e espero tenha dito, de certa maneira você já aceitou, intuitivamente, algum critério de confiabilidade no método. Ou seja, você já está aceitando que Dt deve ser menor do que 7s e maior do que 1s. Esta confiabilidade poderia ser expressa matematicamente através da seguinte fórmula: Dt = 4s ± 3s, ou então Dt = (4 ± 3)s.

Mas você há de convir também que, mesmo sendo o método bastante grosseiro, estimar a incerteza dessa medida em 3s seria uma manobra excessivamente cautelosa. É sempre bom ser cauteloso em ciência, mas daí a ser excessivamente cauteloso vai uma grande distância. Se você executou de fato a experiência, deve ter notado que neste caso o erro dificilmente poderia ser maior do que 1s e, até mesmo, ter desconfiado de que ele deve ser menor do que 1s (digamos, algo da ordem de 0,4s, um pouco mais, ou um pouco menos). Mas neste caso dificilmente você conseguiria estabelecer um valor razoável para essa estimativa da incerteza, então o melhor mesmo é parar em 1s. Mesmo porque o cronômetro utilizado fornece valores múltiplos de 1s. Digamos então que a maneira de expressarmos a medida dessa experiência feita no meu computador seria

Dt = (4 ± 1)s.
(1.2)

Veja que nessa estimativa de erro há muito de subjetividade. Até onde se pode confiar em um resultado tem muito de pessoal e a relacionar-se a inúmeros fatores como, dentre outros, o cuidado na execução da experiência, a observação dos fatores limitantes do processo em execução, os equipamentos utilizados, a sagacidade do experimentador etc. Mas de qualquer forma é sempre possível justificar o porquê dessa expectativa estabelecida. O erro sugerido por um experimentador deve passar sempre pelo crivo da desconfiança de seus pares, a ponto de que se possa chegar a um consenso. O valor acaba então por adquirir o que poderíamos chamar uma objetividade consensual. Vou parar por aqui lembrando, não obstante, que este assunto poderá voltar à tona durante a nossa jornada. Vamos então à questão (2), qual seja: "O valor que você encontrou deveria ou não estar próximo daquele que eu encontrei"?

Eu já dei a entender acima que o valor real ou verdadeiro do intervalo de tempo gasto para que a bolinha percorra a distância fixada, poderia ser diferente de um computador para outro, cabendo aqui alguns comentários extras além da justificativa. Esta última seria a resposta para a questão (3).

Em primeiro lugar, e para que não pairem dúvidas, vamos assumir que todos os computadores em consideração estejam com seus relógios bem calibrados. Pequenas diferenças, porventura existentes, poderão então ser desprezadas, ou deixadas de lado. Como o método é grosseiro, podemos ficar sossegados quanto à aceitação dessa idealidade.

Dizer que o relógio de um computador está bem calibrado implica em dizer que está havendo uma certa harmonia entre a engenharia que produziu o software e a engenharia que produziu o hardware desse computador. Esse cuidado deve ser tomado sempre que a função do software relacionar-se diretamente com medidas de tempo, como é o caso em consideração (relógio). Não obstante existem outros softwares que se prestam, em determinadas condições, a retratar a passagem do tempo, mas o seu funcionamento nem sempre implica numa calibração rigorosa. Um software de vídeo, por exemplo, não precisa ter a mesma calibração de um cronômetro, mas não pode dispensar um certo rigorismo pois, do contrário, as imagens e os sons dos filmes apareceriam de maneira distorcida. É devido a motivos como este, dentre outros, que determinados computadores não conseguem reproduzir um vídeo de maneira aceitável, enquanto outros mais sofisticados chegam a simular o que é observado numa tela de televisão ou mesmo de cinema. Já o software de um navegador da web (IExplorer, por exemplo) não precisa ser tão sofisticado, a não ser que ele venha a hospedar um vídeo mas, neste caso, há sempre uma associação entre o navegador e o software do vídeo (por exemplo, o Windows Media Player), de maneira que o segundo assume o controle do tempo, pelo menos na área destinada pelo navegador e a ser ocupada pelo vídeo.

Os gifs animados são produzidos num software específico e reproduzido em outros (por exemplo, no navegador da web). No software que produziu o gif animado o controle de tempo está associado ao mesmo dispositivo que controla o cronômetro do computador. Consequentemente, o tempo gasto para a reprodução do gif animado neste software deve ser praticamente o mesmo quando observado em dois computadores diversos, mas bem calibrados. Mas se este gif animado for reproduzido em outro software, como por exemplo no navegador da web, a identidade temporal se desfaz. E tanto mais quanto maior for o assincronismo entre as funções do navegador instalado em um computador e aquelas observadas no navegador instalado no outro computador, ainda que o navegador seja do mesmo tipo (ou mesmo software).

Para que você tenha uma idéia do que relatei no parágrafo anterior, aquela mesma medida efetuada no navegador da web no meu computador, e que forneceu um resultado igual a 4s ± 1s, quando efetuada no software que o produziu {Microsoft Gif Animator [1]} fornece um resultado da ordem de 0,6s, ou seja, quase sete vezes menor (o que significaria dizer que a bolinha viaja, neste software, cerca de sete vezes mais rápida do que no navegador) e totalmente fora do intervalo de confiança considerado (± 1s). Mas isto deve ser interpretado apenas como uma curiosidade que não deve ser valorizada, pois o que nos interessa no caso é estabelecer um valor para um intervalo de tempo que estamos observando no navegador da web e que, no caso do meu computador, revelou ser 4s ± 1s.

É bem possível que você tenha encontrado para Dt o mesmo valor que eu encontrei e, neste caso, é possível que tenha ficado a impressão de que aquilo que foi comentado nos últimos 5 parágrafos seria de pouca importância prática. De fato, provavelmente deve ser de pouca importância neste caso (método grosseiro), mas a verdade é que iremos trabalhar com métodos mais sofisticados e, muito provavelmente, surgirão diferenças significativas e importantes na comparação entre nossas medidas, relacionadas a esses efeitos.

1.8 Erros e Desvios

Vamos expandir um pouco a nossa introdução à teoria dos erros. Em primeiro lugar é importante que fique clara a conceituação do que seja erro. "Erro é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma." Poderíamos expressar essa idéia da seguinte maneira:

erro = valor medido - valor real.
(1.3)

Via de regra não conhecemos o valor real, logo não há como calcular esse erro. Ou seja, aquele número, que colocamos após o símbolo ±, não deve ser confundido com o erro. Com efeito, aquele número representa uma estimativa de quanto deveríamos somar ou subtrair, ao valor de nossa medida, a fim de que possamos acreditar que o valor real está encaixado em um intervalo considerado como razoável, ainda que não saibamos a posição em que o valor real ocupa nesse intervalo. A esse número, acompanhado da unidade (a mesma do valor medido), é costume dar o nome de incerteza da medida. Generalizando então a expressão obtida para Dt no item anterior, podemos escrever:

expressão da medida = valor medido ± incerteza
(1.4)

Não se deve pois confundir erro com incerteza [Como veremos abaixo, há quem considere esta incerteza da equação 1.4 como "incerteza tipo B"].

Em alguns casos conhecemos, da teoria, o valor real. Um exemplo seria a soma dos ângulos internos de um triângulo (180°). Neste caso poderemos sempre calcular o erro cometido.

No nosso estudo iremos nos deparar com inúmeras situações em que a medida que estamos efetuando é única e não pode ser repetida, a menos que nos disponhamos a trabalhar com outros tipos de erros. Mas no caso estudado no item anterior (medida do intervalo de tempo gasto pela bolinha ao viajar entre dois pontos fixos da tela do computador) podemos repetir a experiência tantas vezes quantas quisermos e aceitar, como uma boa hipótese, que o valor real teria sido o mesmo em todas as medidas. Sem dúvida o valor real pode variar em determinadas condições a ponto de afetar também o valor medido. Mas isso é algo que pode ser evidenciado, e neste caso podemos desprezar este ou aquele valor obtido em virtude de uma certa dúvida (queda da corrente elétrica, instabilidades notadas quando o computador entra em alguma tarefa especial e denunciada por aquele ruído característico etc).

A fim de que você possa entender uma outra grandeza importante e relacionada à teoria dos erros, vou solicitar que aceite participar do último desafio deste capítulo, qual seja, repetir a determinação de Dt, como feita no item anterior, por dez ou vinte vezes (é melhor que seja vinte, mas dez também é um valor razoável). Antes disso vamos configurar o cenário (tela do computador) pois agora os valores terão que ser anotados.

Esta anotação poderia ser feita em qualquer editor de texto, mas já que iremos muito em breve utilizar alguns recursos importantes do Excel (espero que você tenha o Excel), sugiro começar agora para que você vá se familiarizando com o mesmo (caso ainda não esteja familiarizado).

Procure então reduzir a janela do navegador da web, com o gif animado 2 em evidência (para sua facilidade o gif será reproduzido abaixo), e deixe uma planilha do Excel aberta e também com a janela reduzida como está demonstrado na figura 7 (navegador à esquerda e Excel à direita). Abra agora a janela Propriedades de Data e Hora com um duplo clique no seu relógio digital da barra de tarefas. Coloque essa janela imediatamente acima do gif animado 2.

Figura 1.7

Figura 1.7: Explicação no texto.

Agora mãos a obra. Enquanto a bolinha vai passando pela tela do computador, anote mentalmente os valores, em segundos, em que ela passa pela bolinha vermelha, a seguir pela verde, subtraia o segundo valor do primeiro e anote o resultado na planilha do Excel (coluna A), à direita dos números 1, 2, 3... até o 20. O gif animado está abaixo. Pode se dar ao luxo de um ligeiro descanso entre uma medida e outra, pois a bolinha não vai deixar de continuar esta repetitiva viagem. Se porventura o gif animado parar, será suficiente clicar no botão atualizar do seu navegador e ele voltará a funcionar. Caso pretenda retornar à leitura logo a seguir, não feche o Excel até ler os comentários abaixo. Do contrário, salve a planilha com os resultados obtidos. Até breve.

gif animado 02:

gif animado 02
si                                                            sf

Tabela 1.1

Já voltou! Pelo visto a tarefa nem foi tão desgastante assim. Espero que você tenha caprichado nas medidas. Pois bem, eu vou continuar o item tecendo comentários sobre os resultados que obtive, e você deverá acompanhar o raciocínio observando os seus dados (planilha do Excel) e comparando com os meus. Os resultados que obtive são apresentados na tabela 1.1 ao lado.

A primeira coisa a ser notada é que o valor 4s foi o mais frequente. A segunda é que o outro valor encontrado (5s) está dentro do esperado pela expressão determinada no item anterior: Dt = (4 ± 1)s. E a terceira é que este valor de 5s, ainda que bem menos frequente, foi encontrado em um número importante de medidas, ou seja, em 25% dos casos (5/20 = 0,25 = 25%). Como teria ficado nosso estudo caso aquele valor único encontrado no item anterior (item 1.7) tivesse sido igual a 5s? Bem, neste caso a expressão determinada teria sido Dt = (5 ± 1)s ao invés de Dt = (4 ± 1)s. É importante perceber que o valor de 4s estaria incluso neste novo Dt, logo os comentários, as justificativas e as conclusões teriam sido exatamente os(as) mesmos(as), apenas colocando-se um 5s no lugar de 4s.

Olhando agora sob um outro prisma, o que esse estudo com 20 medidas poderia acrescentar ao estudo anterior (com apenas uma medida)? A primeira coisa que salta à vista é que o valor real deve estar situado entre 4 e 5s, e não entre 3 e 5s, como estávamos aceitando anteriormente [Dt = (4 ± 1)s]. Em outras palavras, a incerteza certamente foi reduzida e, numa primeira análise, pela metade. Mas será que foi apenas isso o que aconteceu? Que tal trabalharmos um pouquinho em cima dos dados da tabela?

Na janela do Excel procure pela primeira célula abaixo do último resultado anotado. Se você começou pelo canto superior esquerdo da planilha e efetuou 20 medidas, esta célula estará na coluna A e linha 21 (é portanto a célula A21). Coloque o ponteiro do mouse no meio desta célula A21 e clique uma vez com o botão esquerdo para selecionar a célula. A célula selecionada adquire o aspecto mostrado na Figura 1.8. Na mesma figura tem-se também o formato adquirido pelo ponteiro do mouse quando situado no interior de uma célula. Na periferia da célula selecionada ou no canto inferior direito o ponteiro do mouse assume outros formatos (verifique).

Figura 1.8
Figura 1.8: Explicação no texto

A seguir procure, na parte superior da janela do Excel, pelo ícone de somatória (S). Clique na pequena flecha que existe à direita deste ícone e a seguir em Média (ver Figura 1.9). O Excel irá sugerir que a média a ser determinada seja aquela dos valores situados acima da célula selecionada A21 (ele irá selecionar os valores correspondentes à matriz que se costuma chamar por A1:A20, ou seja, aquela matriz a corresponder a todos os elementos representados da célula A1 até a célula A20). Como estamos pretendendo obter exatamente esta média, será suficiente você pressionar a tecla Enter e, com isso, a média dos 20 valores aparecerá na célula A21. Não feche ainda a janela do Excel, pois iremos trabalhar em cima desses 20 valores.

Figura 1.9
Figura 1.9: Explicação no texto

Quando estamos trabalhando com grande número de medidas, podemos deixar as considerações sobre erro de lado (vide conceituação de erro no início deste item) e pensar agora em desvio. Desvio seria "a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza, e o valor que estamos assumindo como aquele que mais se aproxima do valor real. Com frequência assume-se, como tal, o valor médio (no capítulo 3 estaremos frente a uma situação ligeiramente diferente e mais geral). Poderíamos expressar essa idéia da seguinte maneira:

desvio = valor obtido - valor médio.
(1.5)

Com os dados que dispomos (tabela 1.1), podemos calcular 20 desvios, um para cada valor obtido. Na experiência em consideração estamos frente a poucos valores numéricos diferentes para os desvios, pois os valores obtidos foram quase todos iguais (os valores listados na tabela 1.1 são apenas de dois tipos, ou seja, 4s ou 5s). Mas isto nem sempre será assim.

Vamos então calcular esses desvios no Excel. Será necessário trabalhar apenas com um dos valores obtidos, além do valor médio, e deixar que o Excel faça o trabalho restante. Vamos então trabalhar com o valor apresentado na primeira célula, a célula A1.

Selecione a célula B1, ou seja, aquela que está logo a direita de A1. Lembre-se que para selecionar uma célula é suficiente dar um clique com o ponteiro do mouse no interior da célula. A seguir exponha o teclado e pressione a tecla = (sinal de igual). Com isto o Excel ficará à espera de alguma instrução. Dê um clique agora no interior da célula A1 e, logo a seguir, tecle - (sinal de menos). O Excel continuará esperando por alguma outra instrução. A etapa seguinte será digitar o valor que está registrado na célula A21 (o valor médio). Concluída esta etapa tecle Enter e o desvio da primeira medida aparecerá na célula B1.

Perceba que as instruções que foram lançadas em sequência são aquelas contidas na expressão 1.5 (acima). Ou seja, subtraiu-se o valor médio (A21) do primeiro valor experimental (A1), obtendo-se o desvio correspondente (B1). Isto poderia ser repetido para os demais 19 valores, mas há um método mais prático de fazer tudo de uma só vez. Vá com o mouse até a célula B1, selecione-a clicando no seu interior com o botão esquerdo do mouse, solte o botão e deslize ligeiramente o mouse até o canto inferior direito desta mesma célula (B1), onde aparece um quadradinho escuro. Atingido este quadradinho o ponteiro do mouse transmuta-se, daquele formato apresentado na Figura 1.8 (acima) para algo semelhante ao mostrado na Figura 1.10 (abaixo). Com o mouse com este novo formato pressione o seu botão esquerdo e, mantendo-o pressionado, arraste-o para baixo selecionando todas as células por onde o mouse passa, até chegar na célula B20 (inclusive). Solte o mouse na célula B20 e todas as células da matriz B1:B20 aparecerão preenchidas com os respectivos desvios.

Figura 1.10
Figura 1.10: Explicação no texto.

Antes de concluir o capítulo com as considerações finais relacionadas ao tema deste item (Erros e Desvios), seria interessante que você fosse se familiarizando com alguns procedimentos bastante úteis e que podem ser facilmente realizados no Excel. Caso você já esteja familiarizado com o Excel, certamente conseguirá completar a tarefa em menos de um minuto. Do contrário a tarefa poderá vir a ser bem mais demorada. Em caso de dúvida, não deixe de utilizar os links de ajuda.

Em primeiro lugar, procure calcular, registrando na célula B21, a somatória de todos os valores da matriz B1:B20 e constate que o resultado deve ser igual a zero, assim como também deveria ser a média dos desvios. Se não conseguir, clique aqui.

Tente agora registrar na coluna C do Excel, de C1 a C20, os valores absolutos dos desvios, mas procure fazer isso com os recursos próprios do Excel. Se não conseguir clique aqui.

Por fim, calcule a média dos valores absolutos dos desvios por um procedimento semelhante àquele que foi efetuado para o cálculo da média dos valores registrados na coluna A (vide Figura 1.9 e comentários que estão no parágrafo situado logo acima da figura).

À média dos valores absolutos dos desvios costuma-se dar o nome de desvio médio. O desvio médio é estudado em estatística, via de regra no capítulo ou item intitulado Medidas de Dispersão. Outra medida de dispersão também importante é o desvio padrão.

As medidas de dispersão, dentre outras coisas, prestam-se a retratar a incerteza na média de um conjunto de medidas, de maneira muito semelhante ao que constatamos acontecer com a incerteza exposta na expressão 1.4 e utilizada para retratar uma única medida. Poderíamos então, utilizando o desvio médio, escrever:

expressão da medida = média dos valores obtidos ± desvio médio
(1.6)

Note que poderíamos ter utilizado outra medida de dispersão para a incerteza, mas vamos ficar, por ora, com o desvio médio.

Observação: Com certa frequência as medidas de dispersão (em geral o desvio padrão) são referidas em alguns trabalhos como "incerteza estatística" ou "incerteza padrão" ou, ainda, como "incerteza tipo A". Para aqueles que utilizam a denominação "incerteza tipo A", a incerteza descrita na fórmula 1.4 (acima) é considerada como "incerteza tipo B".

Procure agora expressar a medida do intervalo de tempo considerado. Para efeitos de comparação, vide abaixo o resultado obtido com os valores apresentados na tabela 1.1 e expresso em termos do desvio médio.

Dt = (4,3 ± 0,4)s.
(1.7)

Por ora direi apenas que o valor médio (4,3) foi escrito com dois algarismos significativos, sendo o primeiro certo e o segundo duvidoso. Entre os algarismos significativos é admitida a presença de um único algarismo duvidoso. Os demais algarismos devem ser desprezados na apresentação final, ainda que tenham sido considerados para efeitos de cálculo.

 

Para fazer os Exercícios do Capítulo 1 clique abaixo em Exercícios
Para continuar lendo este artigo clique em Capítulo 2.

Notas e Referências:

  1. O Microsoft Gif Animator pode ser adquirido (free) em Fx Sound and Magic.