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Estudo do Movimento segundo a
Metodologia Net-In
Alberto Mesquita Filho
Capítulo 5 - Página 3

5.9 A equação da velocidade

No capítulo 4 aventamos a possibilidade de uma medição direta da velocidade. Nos dias atuais isto chega a ser corriqueiro. Estando no volante de um automóvel, basta um ligeiro desvio de olhar para o velocímetro e a medida de uma velocidade instantânea terá sido realizada. Se a velocidade se mantiver constante durante um certo intervalo de tempo Dt, facilmente saberemos calcular o espaço percorrido neste intervalo de tempo: Ds = v.Dt. Vamos então complicar um pouquinho o problema.

Suponha que você é passageiro de um veículo e está filmando o desempenho do velocímetro. Em certo momento, ao se aproximar de um posto da patrulha rodoviária, o motorista observa uma placa de limite de velocidade: 50 km/h. Rapidamente ele solta o pé do acelerador e pisa no freio, procurando se manter no novo limite de velocidade. Você registrou o que aconteceu no velocímetro, como resultado desta manobra, e está agora examinando a tela da filmadora. Digamos que tenha obtido algo semelhante ao vídeo mostrado abaixo:

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Figura 5.13: Clique em Reproduzir.
Explicação no texto.

As perguntas que surgem são as seguintes: 1) Seria possível, com este filme, estudarmos o comportamento da velocidade do automóvel no decorrer do tempo? 2) Qual o significado de um Dv/Dt? Seria, por acaso, aquilo que costumamos chamar por aceleração (média no caso)? 3) Se sim, existiria também uma aceleração instantânea, a exemplo da velocidade instantânea? 4) Se novamente sim, a aceleração instantânea seria uma derivada da velocidade em relação ao tempo? 5) Como estimar o espaço percorrido quando a velocidade se mostra variável?

Espero que você tenha respondido sim às quatro primeiras perguntas. Vamos então prosseguir cadenciando as idéias aí contidas.

O método utilizado nos três primeiros capítulos [1], para correlacionar o espaço percorrido com o intervalo de tempo, poderia se mostrar útil para a análise deste problema. Não obstante, conquanto útil, trata-se de um procedimento deveras exaustivo. Devemos, portanto, deixá-lo para situações incontornáveis.

Poderíamos raciocinar em termos de fotos estroboscópicas do velocímetro em funcionamento. O exercício 5.8 simula algo parecido com isto, com a sofisticação de dar as leituras da velocidade em uma tabela e de permitir a cópia desta tabela para a área de transferência, podendo então ser colada em uma planilha do Excel. Esta tabela, do tipo v=fe(t), vai sendo construída, com intervalos de tempo iguais, à medida em que o vídeo vai sendo passado. Clique aqui para resolver o exercício 5.8 e tente retornar com: 1) o gráfico v=fe(t) feito no Excel; e 2) a equação v=f(t) obtida no Excel (equação de uma linha de tendência que se ajuste aos dados experimentais de maneira razoável). Não feche o Excel ao retornar para a leitura do que se segue.

O gráfico que você obteve no Excel deve se assemelhar com aquele mostrado abaixo (figura 5.14). A linha de tendência aí escolhida foi a polinomial de ordem 3 (a de ordem mais baixa a se ajustar razoavelmente bem aos valores experimentais).

figura 5.14
Figura 5.14: Explicação no texto.

Agora apague a linha de tendência e procure examinar o gráfico com os olhos de um físico que conhece os detalhes experimentais. Em outras palavras, que conhece a história da experiência. Como você a conhece, é possível que note a existência de pelo menos três regiões distintas no gráfico. E se olhar mais esmiuçadamente, talvez amplie esse número para cinco (figura 5.15). Que dizer dessas cinco regiões?

figura 5.15
Figura 5.15

Inicialmente temos uma região (1) em que a velocidade decai de maneira linear (0 t 1s). Na parte central (região 3) idem (1,5t 3s), ainda que de forma mais acentuada. E na parte final (região 5) a velocidade mantém-se praticamente constante (3,5 t 4,375s). Nos trechos intermediários (regiões 2 e 4) a variação da velocidade não é linear mas sim representada por curvas: a primeira de concavidade para baixo e a segunda de concavidade para cima. Procure interpretar estes dados frente à história conhecida. Se não conseguir, prossiga com a leitura.

O primeiro reflexo do motorista, ao visualizar algo de estranho, mas não exatamente a sua frente (no caso, a aproximação de um posto policial com o aviso de redução do limite de velocidade), é tirar o pé do acelerador. A seguir, mentalizada a situação e traçada a estratégia a ser seguida (o que ocorre em frações de segundos), começa a frear o carro de uma maneira adequada para o objetivo proposto. Tudo isto leva tempo, por menor que ele seja.

Ao tirar o pé do acelerador (que a rigor não estava acelerando, mas sim mantendo constante a velocidade do carro) a velocidade vai sendo reduzida (desaceleração) em virtude do atrito (principalmente pneus-solo). Isto responde pela primeira região que, no caso, dura cerca de 1 segundo. Ao pisar no freio ocorre uma desaceleração forçada, a sobrepor-se àquela devida ao atrito. A mudança da fase 1 para a fase 3 é gradativa (neste caso dura aproximadamente meio segundo), até que o motorista encontre a posição ideal do freio a corresponder a uma desaceleração uniforme (fase 3). Entre a fase 3 e a fase 5 ocorre uma segunda mudança gradativa (também de meio segundo) e que corresponde à retirada do pé do freio e retorno ao acelerador com a finalidade agora de manter uma velocidade constante e próxima a 50 km/h.

Com esses dados em mente, e com o Excel ainda aberto, clique aqui e procure resolver o exercício 5.9, que nada mais é senão uma extensão do exercício anterior. Como os tempos foram registrados em segundos (múltiplos de 0,125s), transforme antes os valores de velocidade de km/h para m/s, evitando com isto possíveis aborrecimentos futuros, mesmo porque, e ao final desta série de exercícios, você será solicitado a calcular um espaço percorrido em metros. A transformação é simples: divida o valor dado em km/h por 3,6 [ou seja, 1 km/h = 1000m/3600s = (1/3,6)m/s]. Faça isto para o primeiro valor de v e obtenha os demais valores no Excel por arraste do mouse. Retorne com cinco equações do tipo v=f(t). Se não souber como, continue com a leitura.

Em virtude do exposto, podemos dividir a tabela original em cinco tabelas menores e resolver o problema em cinco etapas. [Clique aqui para visualizar a resolução feita no Excel e transformada em arquivo pdf.] As cinco equações obtidas são então agrupadas em uma só:

 
Equação da Velocidade - Exercício 5.9

 
v(t) = chave -2,81t + 34,8 se 0 t 1,0
-6,35t2 + 10,32 + 28 se 1,0 < t 1,5
-8,64t +42,1 se 1,5 < t 3,0
7,62t2 - 53,97t + 109,5 se 3,0 < t 3,5
13,9 se 3,5 < t ≤ 4,375
t em segundos e v em m/s

Salvo melhor juízo, esta é a efetiva equação da velocidade (e não aquela mostrada na figura 5.14), pensada no sentido físico do que possa significar a expressão "equação da velocidade".

5.10 A equação da aceleração

Por ora vamos pensar em aceleração apenas como algo relacionado à variação da velocidade (Dv) de um objeto qualquer em movimento. Neste sentido, é possível chegar-se à equação da aceleração partindo-se da equação da velocidade. Os procedimentos poderiam ser semelhantes àqueles utilizados para se chegar à função v=f'(t) a partir da função s=f(t) vistos nos itens 5.3 a 5.5. Vamos então apelar para o caminho mais simples, qual seja, aquele a caracterizar a aceleração como derivada da velocidade:

equação 5.22
eq. 5.22

Para a equação da velocidade dada no item anterior a solução é direta. Tente obtê-la e a seguir construa, no Excel, o gráfico a=f"(t) [2]. Confira o resultado obtido com aqueles apresentados abaixo [Equação da Aceleração e Figura 5.16].

 
Equação da Aceleração - Exercício 5.9

 
a(t) = chave -2,8 se 0 t 1,0
-12,7t + 10,3 se 1,0 < t 1,5
-8,6 se 1,5 < t 3,0
15,24t - 54,0 se 3,0 < t 3,5
0 se 3,5 < t ≤ 4,375
t em segundos e a em m/s2

figura 5.16
Figura 5.16: Gráfico da equação da aceleração do exercício 5.9

5.11 O caminho inverso

Como vimos no item 5.8, é possível calcular o espaço Ds percorrido por um objeto, em um intervalo de tempo Dt, conhecendo-se a equação da velocidade. É suficiente estimar a área delimitada pela curva v=f '(t) e pelo eixo das abscissas, no intervalo de tempo considerado (equações 5.18 a 5.21). Este procedimento pode ser generalizado levando à equação horária [s=f(t)]. Isto decorre do que é chamado teorema fundamental do cálculo integral e as equações 5.18 a 5.21 sintetizam o conteúdo operacional deste teorema. Em última análise, poderíamos resumir este conteúdo operacional na seguinte afirmação: derivação e integração são processos inversos.

Para que isto fique claro vamos considerar a velocidade definida por v = f(t) [3]. Como

v=ds/dt,

conclui-se, do teorema fundamental, que

s=F(t)

representa o caminho inverso desejado [(obtenção de s=F(t) a partir de v=f(t)]. F é a chamada função primitiva e f a sua derivada (podendo também ser representada por F'). O problema agora é achar a primitiva F(t)=s a partir da derivada f(t)=v.

Ora, se integração e derivação são processos inversos, tudo o que precisamos é saber inverter o processo de derivação, já nosso conhecido. Vejamos então como seria esta inversão no caso das potências inteiras de t.

Seja então s = (1/N)tN [4]. Neste caso, aplicando a regra da potência para a derivação teremos v = ds/dt = tN-1. Ou seja,

Se  s = (1/N)tN       Þ       ds/dt = N(1/N)tN-1 = tN-1

A expressão pode ser invertida, em concordância com o teorema fundamental, ficando então:

Se ds/dt = tN-1       Þ       Ǝs: s = (1/N)tN        [5]

Fazendo n=N-1 (e, portanto, N=n+1), e lembrando que s=ʃvdt, o algoritmo fica:

Se ds/dt = tn       Þ       Ǝs: s = ʃvdt = [1/(n+1)]tn+1       [6]

Podemos então assumir a existência de pelo menos um s = F(t) como:

equação 5.23
eq. 5.23

Há de se notar que se adicionarmos uma constante ao segundo membro da expressão 5.23 teremos também uma primitiva da função f(t)=tn, pois a derivada de uma constante é zero [7]. Ou seja, G(t) = F(t)+k tem a mesma derivada f(t), logo F(t)+k também é solução para a integral de f(t). Consequentemente, a fórmula básica para expressarmos a integral de uma potência é:

equação 5.24
eq. 5.24

Procure agora resolver o exercício 5.10 que consiste na determinação da equação horária s=f(t) para o problema iniciado com o exercício 5.8. Em dúvida sobre como determinar as constantes k's da expressão 5.24 (o exercício implica na determinação de 5 constantes), consulte a página correspondente do exercício resolvido.

5.12 Integração gráfica

A maneira mais simples e recomendada para se efetuar uma integração é através da expressão matemática. Algumas vezes as fórmulas são de fácil determinação e/ou de fácil memorização. Não obstante, são tantas as fórmulas, com algumas bastante complicadas, que torna-se um hábito frequente o de consulta a tabelas. Raramente utiliza-se a integração gráfica, mas não deixa de ser interessante mostrar esta possibilidade alternativa. A justificativa é óbvia frente ao conteúdo exposto nos itens 5.7 e 5.8. Vamos portanto direto ao assunto, complementando-o com argumentos de natureza procedimental.

Alguns detalhes podem ser assimilados analisando-se o processo em sua versão mais simples: o da velocidade constante (figura 5.17). Neste caso a identidade numérica entre A (a área sob o gráfico) e Ds (medida de comprimento) é direta: sendo a área do retângulo dada por base × altura, temos:

A = Ds = v.Dt

figura 5.17
Figura 5.17

A é uma área simbólica, representando uma medida de comprimento (Ds) obtida ao multiplicarmos v (velocidade) por Dt (intervalo de tempo). Para que a expressão funcione, v e Dt devem ser dados em unidades convenientes (por ex., m/s e s, respectivamente). Para que a área A', em pix2, obtida por medida direta no gráfico, represente este mesmo Ds (em metros), os eixos do gráfico não só devem estar equalizados como também com as unidades (1m/s e 1s respectivamente) representadas por um pixel. Na figura 5.17 isso não está acontecendo: 30 unidades de v estão sendo equiparadas com cerca de 1,45 unidades de t. Esta área gráfica A', medida em pix2, dará então um valor numérico diferente de A. Novamente precisamos de um fator de correção f e que, neste caso, converta valores numéricos de áreas medidas no gráfico em pix2 para o valor conveniente de Ds dado pela expressão ʃv.dt (uma manobra alternativa seria a fixação de um fator de escala nos eixos do gráfico, a exemplo do que se faz em cartas geográficas).

Procure decifrar a maneira de se chegar a este f. Caso não consiga clique aqui. Conhecido o fator de correção, a tarefa consistirá em determinar a área gráfica A' em pix2 a ser posteriormente transformada em A (e, portanto, em Ds) através da expressão A = f.A'. O procedimento é de fácil entendimento, ainda que um pouco trabalhoso. O exercício de aplicação 5.11, bem como a Ajuda em anexo, prestam-se a esclarecer o processo. Obtida a área em pix2 calcule o fator de correção f deste mesmo gráfico através do swf fornecido com o exercício 5.12. Por fim, calcule Ds = A = f.A' e compare o valor obtido com o Ds correspondente calculado no exercício 5.10.

É importante observar que se qualquer porção do gráfico v=f(t) estiver abaixo do eixo das abscissas [v negativo], a área correspondente deve ser interpretada com valores negativos para a obtenção de Ds.

 

 

Para fazer os Exercícios do Capítulo 5 clique abaixo em Exercícios
Para continuar lendo este artigo clique em Capítulo 6.

 


Notas e Referências:
  1. Multiplicador da área de transferência, para a obtenção de um grande número de imagens, e cronômetro.
  2. Como s = f(t) e v = s' = f '(t), segue-se que a = v' = s" = f "(t), ou seja, v é a derivada primeira de s e a é a derivada segunda de s.
  3. Notar que agora estamos definindo v=f(t) antes de qualquer consideração sobre s. Logo s deve ser expresso por uma simbologia diversa daquela que vínhamos adotando.
  4. Observar que N deve ser diferente de zero.
  5. "Ǝs:" significa "existe pelo menos um s tal que".
  6. Como N ¹ 0 e n = N-1   Þ   n ¹ -1. Para n = -1 a integral de tndt deve ser calculada por outro procedimento.
  7. Foi por este motivo que assumimos acima a "existência de pelo menos um s". Vê-se então que existem infinitos s's que atendem a condição.